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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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3.
b) Derivar las siguientes funciones utilizando la regla del producto:
1) f(x)=sen⁡(x)exf(x)=\operatorname{sen}(x) e^{x}
2) f(x)=x3ln⁡(x)f(x)=x^{3} \ln (x)
3) f(x)=x3(2x3+cos⁡(x))f(x)=\sqrt[3]{x}\left(2 x^{3}+\cos (x)\right)
4) f(x)=(x5−1x)cos⁡(x)f(x)=\left(x^{5}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cos (x)

Respuesta

1) f(x)=sin⁡(x)exf(x)=\sin(x) e^{x}

Derivamos con la regla del producto como vimos en la clase:

f′(x)=cos⁡(x)⋅ex+sin⁡(x)⋅ex f'(x) = \cos(x) \cdot e^{x} + \sin(x) \cdot e^{x}

2) f(x)=x3ln⁡(x)f(x)=x^{3} \ln (x)

Regla del producto de nuevo...

f′(x)=3x2⋅ln⁡(x)+x3⋅1x f'(x) = 3x^{2} \cdot \ln(x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x}

Simplificamos:

f′(x)=3x2ln⁡(x)+x2 f'(x) = 3x^{2} \ln(x) + x^{2}

3) f(x)=x3(2x3+cos⁡(x))f(x)=\sqrt[3]{x}\left(2 x^{3}+\cos (x)\right)

Para derivar x3\sqrt[3]{x} escribila como x1/3x^{1/3} y ahí derivas como si fuera un polinomio

f′(x)=13x−23(2x3+cos⁡(x))+x13(6x2−sin⁡(x)) f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(2x^{3} + \cos(x)) + x^{\frac{1}{3}}(6x^{2} - \sin(x))

4)  f(x)=(x5−1x)cos⁡(x)f(x)=\left(x^{5}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cos (x)

Para derivar 1x\frac{1}{\sqrt{x}} escribilo como x−1/2x^{-1/2} y ahí derivas también como si fuera un polinomio

f′(x)=(5x4+12x−32)⋅cos⁡(x)+(x5−x−12)⋅(−sin⁡(x)) f'(x) = (5x^{4} + \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}) \cdot \cos(x) + (x^{5} - x^{-\frac{1}{2}}) \cdot (-\sin(x))
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